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Homogénéisation, méthodes probabilistes, inclusions aléatoires
• Comment faire des simulations prenant en compte des milieux multi-échelles avec hétérogénéités ?
• Comment distinguer ce qui relève du déterministe et de l’aléatoire dans la modélisation ?
• Comment appréhender les méthodes statistiques pour traiter les milieux hétérogènes (homogénéisation, échantillonnage des géométries avec méthodes de Monte-Carlo) ?

1. Distinguer ce qui relève du déterministe et de l’aléatoire dans la modélisation employée
2. Pour des problèmes avec hétérogénéité de petites tailles, connaître le principe des méthodes d’homogénéisation (milieux effectifs)
3. Appréhender l’échantillonnage de type Monte-Carlo pour la simulation numérique avec des géométries présentant des inclusions aléatoires
4. Fournir des exemples concrets en acoustique, géophysique, dynamique des fluides.

La prise en compte des milieux avec hétérogénéités en vue de la simulation numérique présente des difficultés conceptuelles et pratiques, dues par exemple à la caractérisation des géométries de type multi-échelles ou au caractère aléatoire des hétérogénéités.
On présentera les principes de l'homogénéisation utilisée lorsque les hétérogénéités (périodiques ou aléatoires) sont petites, le but étant de remplacer l’équation initiale dans un milieu hétérogène par une équation dans un milieu homogène équivalent. On illustrera cela par des exemples motivés par la dynamique des fluides.
Par ailleurs, on évoquera les cas de mélange binaire, dans lequel les hétérogénéités sont des inclusions réparties selon une loi probabiliste simple. Cela permet d'envisager des séries de simulations numériques élémentaires du type Monte-Carlo en tirant parti de la puissance des moyens de calcul.
Enfin, dans un milieu hétérogène, la vitesse de propagation des ondes est aléatoire et les discontinuités provoquent des réflexions ; on proposera une analyse de ces phénomènes ainsi que des applications à des problèmes de détection.
On formalisera les approches probabilistes souvent utilisées de façon intuitive ; et on mettra en exergue la distinction entre les méthodes probabilistes et les modèles stochastiques et les complémentarités possibles entre les deux.

Différents types de milieu hétérogènes et de géométries aléatoires

1. Milieux stationnaires isotropes
2. Milieux avec frontières rugueuses

Introduction aux ondes en milieux aléatoires

1. Description statistique du milieu et identification des échelles
2. Théorie du milieu effectif

Prise en compte d'une  géométrie aléatoire de type mélange binaire (méthodes de Monte-Carlo)

1. Inclusions avec positions régies par une loi de Poisson
2. Comment faire un échantillonnage de la géométrie ?
3. Application à un problème de ralentissement et d’arrêt de particules.
4. Réalisation d’une géométrie et série de simulations numériques.

Homogénéisation pour des problèmes avec coefficients périodiques / aléatoires

1. Problèmes avec échelles multiples
2. Milieu effectif équivalent

Propagation d'ondes dans des milieux aléatoires

1. Description statistique des ondes transmises et réfléchies
2. Théorie de l'approximation de la diffusion
3. Retournement temporel des ondes en milieu aléatoire
4. Théorie de la stabilisation statistique

Homogénéisation pour des problèmes avec milieux aléatoires

1. Principe de l'homogénéisation aléatoire
2. Application à la dynamique des fluides

Méthode pédagogique
Présentation des fondamentaux, de l'état de l'art, des dernières avancées
Illustration par des exemples concrets issus de l'industrie