Algèbre linéaire - Méthodes performantes pour le calcul scientifique sur les calculateurs parallèles et multi-cœurs

• Dresser un panorama des principales méthodes de résolution des problèmes d’algèbre linéaire et de calcul de valeurs propres.
• Préciser les fondements mathématiques et algorithmiques qui sont à la base des bibliothèques numériques utilisées dans l’industrie ou en développement.
• Présenter des exemples de simulation sur des cas industriels permettant d’apprécier les avancées récentes du domaine.

Introduction et base des méthodes de Krylov et déflation
-    Méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires
-    Base et convergence des méthodes de Krylov
-    Techniques de déflation

Solveurs directs creux et préconditionneurs algébriques

• Résolutions de systèmes linéaires

- Méthodes directes par décomposition en produit de matrices à structure simple : diagonales, triangulaires, etc.
- Méthodes itératives basées sur la construction d’une séquence d'approximations qui convergent vers la solution du système initial. (Présentation des grandes familles de préconditionneurs)

• Liens entre les choix algorithmiques/numériques et leurs implantations efficaces sur des calculateurs scientifiques à hautes performances

 
Méthodes de décomposition de domaines

• Principe de la décomposition et applications aux calculateurs parallèles

- Algorithmes
- Conditions d'interface

• Méthodes

- Méthodes de type Schur (Neumann-Neumann, FETI, …)
- Méthodes de Schwarz optimisées

• Application à des systèmes provenant de la discrétisation de différents types d’équations symétriques, de convection-diffusion, Helmholtz, …

Solveurs rapides et méthodes multi-grille

• Méthodes rapides de résolution de systèmes linéaires (cas des systèmes résultant de la discrétisation d'équations elliptiques séparables dans des domaines de forme simple
• Méthodes multi grille notamment  algébriques utilisables pour des systèmes ne provenant pas d'équations aux dérivées partielles

- Utilisation comme pré conditionnements pour des méthodes de Krylov
- Applications à des systèmes comportant des dizaines de millions d'inconnues obtenus sur des calculateurs parallèles comportant des centaines de processeurs.

Bibliothèques d'algèbre linéaire

• Principales caractéristiques des bibliothèques d'algèbre linéaire disponibles dans  le domaine public
• Exemple d'utilisation concrète dans le contexte d'un logiciel industriel

Journée optionnelle

 
Spécialisation sur les méthodes de décomposition de domaine
- Aspects matriciels
- Applications aux problèmes très discontinus
- Grilles grossières
- Eléments de comparaison des différentes méthodes