Aspects probabilistes en modélisation et simulation numérique

• Illustration du principe des méthodes de Monte-Carlo
• Introduction aux modèles prenant en compte des hétérogénéités aléatoires; homogénéisation aléatoire
• Point sur les modèles de propagation en milieux aléatoires
• Exemples d’applications à des problèmes industriels

Dans de nombreux modèles utilisés pour le calcul scientifique, il convient de tenir compte du fait que des coefficients ou des caractéristiques géométriques sont aléatoires. Par ailleurs, il est classique d’utiliser des méthodes de Monte-Carlo pour la résolution numérique de systèmes déterministes par nature mais représentant l'évolution d'une population qui au niveau microscopique obéit à des lois de processus aléatoires.


Introduction aux méthodes de Monte-Carlo et application à la simulation d’une population de particules
Les méthodes de Monte Carlo pour la résolution d’une équation aux dérivées partielles sont basées sur l’expression de la solution comme une espérance mathématique d’une fonction d’un certain processus stochastique ; on présentera des exemples pour la simulation de l'évolution d’une population de particules (neutrons ou particules chargées).

Propagation en milieux aléatoires
Dans un milieu hétérogène, la vitesse de propagation des ondes est aléatoire et  les discontinuités provoquent des réflexions d'ondes ; la modélisation de tels phénomènes sera abordée et illustrée par des exemples concrets.

Modélisation de géométries présentant des hétérogénéités aléatoires
Pour tenir compte d’une structure hétérogène par exemple dans le cas de mélange binaire, on propose d'utiliser une approche dans laquelle les  hétérogénéités aléatoires ont des positions réparties selon une loi de Poisson ce qui permet des simulations numériques simples.

Homogénéisation pour des problèmes avec coefficients aléatoires
On présentera des techniques d’homogénéisation qui permettent de remplacer l’équation aux dérivées partielles dans un milieu hétérogène aléatoire par une équation dans un milieu homogène équivalent.

Pré-requis

Vous connaissez les bases concernant les équations aux dérivées partielles linéaires, vous possédez également des notions de bases en probabilité (loi d’une variable aléatoire, espérance, variance, loi des grands nombres).

Sinon vous pouvez assister à la formation « Probabilités et statistiques pour l’ingénieur » dédié aux ingénieurs et chercheurs souhaitant compléter ou approfondir leur formation initiale pour aborder le domaine de l'aléatoire, et aux personnes confirmées souhaitant remettre à niveau leurs connaissances en théorie des probabilités et des statistiques.